ethanol

Mécanique

Moment d'inertie

1. Définition

1.1 Masse ponctuelle

Le moment d'inertie JΔ d'une masse ponctuelle m située à la distance r d'un axe de rotation Δ
est défini par la relation :

JΔ = m × r2

1.2 Solide

Le moment d'inertie JΔ par rapport à un axe Δ d'un solide S est égal à la somme des moments d'inertie par rapport à l'axe Δ des masses élémentaires dm.

JΔ = r2 × dm

Exemple : cylindre plein
la masse volumique d'un solide est ρ = m / V
Si ce solide est homogène on a alors cette valeur ρ = dm / dV quelque soit l'échantillon de volume dV prélevé sur ce solide.

Dans ce cylindre, isolons un tube (en rouge sur le dessin) d'épaisseur infiniment petite dr, de rayon r, et de hauteur h.
Son volume est donc :   dV = 2 × π × r × dr × h

Puisque dm = ρ × dV
On peut écrire que :   dm = ρ × 2 × π × r × h × dr

Reportons dm dans l'intégrale :   JΔ = ρ × 2 × π × h × r3 × dr

Soit encore :   JΔ = ρ × 2 × π × h × r3 × dr

En intégrant :   JΔ = ρ × 2 × π × h ×

Dans cette équation, remplaçons ρ par m / V   et   π × R2 × h par V. La grandeur V disparait de l'équation qui devient :

JΔ = × m × R2